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徐武看了一眼，写下了解题过程：
当n=1时，等式左边是 \1^3 = 1\，等式右边是 \\left\frac{11+1}{2}\right^2 = 1^2 = 1\，所以当n=1时，等式成立。
当n=k（k是某个正整数）时，等式成立，即 \1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 = \left\frac{kk+1}{2}\right^2\。
当n=k+1时，有 \1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + k+1^3 = \left\frac{kk+1}{2}\right^2 + k+1^3\。
将 \1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3\ 替换为 \\left\frac{kk+1}{2}\right^2\，得到 \1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + k+1^3 = \left\frac{kk+1}{2}\right^2 + k+1^3\。
展开并简化表达式，得到 \1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + k+1^3 = \frac{k^2k+1^2}{4} + \frac{4k+1^3}{4} = \frac{k^2k+1^2 + 4k+1^3}{4} = \frac{k+1^2k^2 + 4k+1}{4} = \frac{k+1^2k+2^2 - 4}{4} = \frac{k+1^2k+2^2 - 4k+1^2}{4} = \frac{k+1^2k+2^2}{4} - k+1^2\。
将上式与 \\left\frac{k+1k+2}{2}\right^2\ 比较，得到 \1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + k^3 + k+1^3 = \left\frac{k+1k+2}{2}\right^2\。
因此，当n=k+1时，等式也成立。
由数学归纳法原理，对于所有正整数n，有 \1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left\frac{nn+1}{2}\right^2\。
徐武放下粉笔，看着白发魔没有说话。
