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题目：设 \ a, b, c \ 是正实数，用柯西不等式证明 \ a + b + c \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ＝9 \。
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解：
1. 应用柯西不等式：
柯西不等式表明，对于任意的实数 \ x_1, x_2, \ldots, x_n \ 和 \ y_1, y_2, \ldots, y_n \，我们有
\[ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2 \geq x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n^2 \]
2. 选择合适的 \ x_i \ 和 \ y_i \：
用\ x_i \ 和 \ y_i \ 来表示 \ a, b, c \ 和 \ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \。我们可以令
\[x_1 = \sqrt{a}, \quad x_2 = \sqrt{b}, \quad x_3 = \sqrt{c}, \quad y_1 = \sqrt{a}, \quad y_2 = \sqrt{b}, \quad y_3 = \sqrt{c} \]
