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3. 应用柯西不等式：
根据柯西不等式，我们有
\[ a + b + c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 \geq x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3^2 \]
4. 简化右边的表达式：
将 \ x_i \ 和 \ y_i \ 的值代入，我们得到
\[ x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3^2 = \sqrt{a}\sqrt{a} + \sqrt{b}\sqrt{b} + \sqrt{c}\sqrt{c}^2 = a + b + c^2 \]
5. 得出结论：
因此，我们有
\[ a + b + c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq a + b + c^2 \]
6. 使用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM 不等式）：
