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根据 AM-GM 不等式，对于任何非负实数 \ x \ 和 \ y \，有
\[ \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \]
等号成立当且仅当 \ x = y \。
7. 应用 AM-GM 不等式：
将 \ a + b + c \ 看作是三个数的和，应用 AM-GM 不等式，我们有
\[ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}\]
8. 得出结论：
因此，我们有
\[ a + b + c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{abc} \cdot 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} = 9 \]
